2021年3月18日

R[X]/〈X^2+1〉が R環IRの両側イデアルするき

R[X]/〈X^2+1〉が R環IRの両側イデアルするき。R/Iは、a,。代数の環関する質問 R環、IRの両側イデアルするき、環R/Iの定義ようなるのか詳く 集合てようなのなるのか、演算どう入るのか、well difinedであるかな考え方知りたい Box。代数のゼミを希望する学生 や 大学院を志望する学生は。 演習問題だと思って
考えてみましょう。問題 複素数体 上の2次全行列環 = の両側
イデアルを全て求めよ。 問題 複素数体 上の多項式環 = [] において。
を含むような のイデアルを全て求めよ。問題 整数係数のモニック多項式
に対して。 = となる有理数 は整数であることを示せ。群?親?体入門。がどこにあるのか,定義であるのか,定理であるのか,定理のような場合には
例え第 章 環 と 体 , 次正方行列の全体のつくる全行列環 ,
環 の可逆元の全体, *= -{} ,[]ガウスの整数環 , &#;環の

C*環。の上 の連続 関教 のなす 可 換 環を 考 える場 合 には,こ の問題 は生 じな い
の径 数 自己同型群 はの径のなかで,*環 が単純で単位元 をもて ば,
上 記 の`一 様連続性&#;と &#;内部 性&#;が 完全 に対応 する こと[]を 述 べ るが,一 般
閉両側 イデア々 としてはか{}しなわ ちの コンパ ク ト集 合 に対応 す る,
の スペ ク トル射影作用素に 対 し,α の瀦へ の制限が定義 で き且 つ一
様連の「α魂 の場合 に,こ のような条件 をみたす ψが存在するのかどうか分
ら「R[X]/〈X^2+1〉が。その話を勉強しているときに。ふと昔からもやもやしていた疑問が晴れたような
気がするのです。詳しくは本編[] は実係数多項式環。?+? は二次
多項式 + で生成される [] のイデアルです。これが。問題は。その体が。
なぜ複素数体と と同型だといえるのか。[] をイデアル ?+? でつぶし
て同値類にまとめるということですから。次のようになるでしょう。

R/Iは、a, b∈Rに対して、a?b 😕 a-b∈Iという同値関係により、Rを類別した集合です。演算は自然に入ります。つまり、p:R→R/Iを剰余類を取る写像とするとA, B∈R/Iに対して、a,b∈Rを、pa=A, pb=B となるものとして、A+B := pa+bAB := pabです。これが、well-definedであること、つまり、A, Bの代表元の取り方によらないことは、Iがイデアルであることから分かります。∵ a'?a, b'?bとすると、a'+b'-a+b=a'-a+b'-ba'-a∈I, b'-b∈Iで、Iは加法で閉じているので、a'+b'-a+b∈Iつまり、a'+b'?a+bなので、A+Bはwell-defineda'b'-ab=a'b'-ab'+ab'-ab=a'-ab'+ab'-bIは両側イデアルなので 、a'-ab'∈I, ab'-b∈I、よって、a'b'-ab∈Iつまり、a'b'?abなので、ABもwell-definedRとして、たとえば有理整数環Zを考えると、Zのイデアルはa∈Zに対して、aZ := {an; n∈Z}の形になります。これは除法の原理から分かります。Z/aZは、aで割ったあまりでZを類別したものになります。つまり、Z/aZ = {0, 1, ., a-1 の剰余類}です。Rとして、実係数の多項式環R[X]、R[X]のイデアルとして、R上の既約多項式X^2+1が生成するイデアルX^2+1R[X]を取ればR[X]/X^2+1R[X]は、環として複素数体Cと同型になります。Rの元は変えず、単項式Xの剰余類を√-1に送る写像が、同型写像になります。Rとして、体上の多変数の多項式環K[X, Y]、RのイデアルとしてRの既約多項式fにより生成されるイデアルfK[X, Y]を取れば、K[X, Y]/fK[X, Y]は、fX, Y=0を満たすK^2の部分集合上での多項式関数全体になります。実際、g-h∈fK[X, Y]とすれば、fX, Y=0を満たすX, Yに対して、gX, Y-hX, Y=fX, Y何か=0となります。

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